Mechaniczne i elektryczne drgania wymuszone. Rezonans.
Dla ciała o masie m przymocowanego do sprężyny częstość własna drgań wynosi ω=2πν=√k/2m, gdy nie występują siły tarcia, oraz ω’=2πν’, gdy siły tarcia są niewielkie. Taka sytuacja występuje, gdy na ciało działa zewnętrzna siła okresowa, np.: most drga pod wpływem maszerujących przez niego żołnierzy, widełki stroikowe (kamerton) wykonują drgania pod wpływem siły okresowej pochodzącej od fali głosowej. Drgania, które powstają w tych zjawiskach nazywamy drganiami wymuszonymi. Drgania wymuszone mają częstość taką, z jaką działa siła zewnętrzna, a nie taką jak częstość własna ciała. Jednak reakcja ciała zależy od stosunku, jaki zachodzi pomiędzy częstością wymuszona a częstością własną. Kolejne impulsy nawet niewielkie, ale następujące w odpowiednich chwilach (zsynchronizowane) mogą doprowadzić do drgań o dużej amplitudzie. Rozwiązanie zagadnienia drgań wymuszonych zostało wykorzystane w urządzeniach akustycznych, w obwodach prądu zmiennego, w fizyce atomowej oraz w mechanice. Równanie ruchu dla oscylatora o wymuszonej częstości drgań wynika z drugiej zasady dynamiki. Prócz siły -kx sprowadzającej ciało drgające do położenia równowagi i siły tłumienia –fdx/dt występuje jeszcze drgająca siła zewnętrzna (okresowa): Fο cos ωt. Ma=∑F , md²x/dt²=-kx-f dx/dt+ Fο cosωt /:md²x/dt²+ kx/m+ f/m dx/dt=Fο/m cosωt. Gdzie:k/m=ω²,f/m=2β,Fο/m=p. Po przekształceniach (1) d²x/dt²+ωο²x+2β dx/dt=p cosωt. Rozwiązanie w postaci: x=r sin(ωt+φο)=r cos(ωt+φο-π/2), gdzie:φο- przesunięcie fazowe, x- wychylenie. Prędkość to: dx/dt=rω cos (ωt+φο), natomiast przyspieszenie: d²x/dt²=-rω²sin(ωt+φο)=rω²cos(ωt+ωο+π/2). Podstawiamy do równania (1): rω² cos(ωt+φο+π/2)+ωο²r cos(ωt+φο-π/2)+2βrω cos(ωt+φο)=p cosωt, gdzie:r1=rω², r3=ωο²r, r2=2βrω, r4=p. W chwili t=0(rysunek)
r4²=(r3-r1)²+r2², gdzie po przekształceniu: r²= p²/[(ωο²-ω²)²+4β²ω², po pierwiastkowaniu r=p/√[(ωο²-ω²)²+4β²ω²], p=Fο/m gdzie m- masa układu drgającego. r=Fο/m√[(ωο²-ω²)²+4β²ω². Dlatego rFο/m, natomiast G= pozostały pierwiastek. Gdy częstość siły wymuszającej ω bardzo różni się od nie tłumionej częstości ωο, wtedy czynnik G jest duży. Oznacza to, że amplituda r= p/G powstałego ruchu jest mała. Gdy ω zbliża się do ωο, współczynnik G staje się mniejszy a amplituda wzrasta. Jeżeli ω i ωο są prawie równe, amplituda osiąga wartość max . Takie zjawisko nazywamy rezonansem. Częstość ω, przy której pojawia się maksymalna amplituda drgań wymuszonych danego układu, nazywamy częstością rezonansową. Gdy B(rośnie), to r(maleje). r= rο= Fο/mωο²= Fο/k, amplituda stacjonarna, to stałe odkształcenie. Gdy β=0, to r=Fο/m√[(ωο²-ω²)²-4β²ω²]= Fο/m(ωο²-ω²). Gdy ωο=ω to r∞ rezonans! Gdy ω∞ to r0. Gdy β≠0 r= Fο/m√[(ωο²-ω²)²+4β²ω², dr/dω=0, to dr/dω=-½Fο/m*[(ωο²-ω²)²+4β²ω²](-3/2)*[2(ωο²-ω²)(-2ω)+8β²ω]=0, -4ωr(ωο²-ωr²)+8β²ωr=0, gdzie ωr- częstotliwość rezonansowa. ωr=ωο√[1-(2β²/ωο²)]. Częstotliwość rezonansowa dla β≠0. Rezonans występuje przy częstości mniejszej niż częstość drgań własnych. Gdy ωωr to r maleje jak ω rośnie. (rysunek)
Rys. wykres amplitudy drgań wymuszonych, tłumionego oscylatora harmonicznego w zależności od stosunku częstości wymuszającej do nie tłumionej częstości własnej.
Drgania elektryczne wymuszone. Єr=Єr.cosωt, gdzie: Єr- siła wymuszjąca, ogólnie ω≠ωο. (rysunek)
∑Єi=Ri, gdzie: i=dy/dt. –L di/dt- q/c+ Єr. cosωt=iR. Ld²q/dt²+Rdq/dt+q/c=Єr. Cosωt, jest analogiczne do md²x/dt²+f dx/dt+kx=İο cosωt, analogia drgań elektrycznych wymuszonych do drgań mechanicznych wymuszonych. d²q /dt²+R/Ldq/dt+1/LC*q=Єr./L cosωt, gdzie: R/L=2γ, 1/LC=ωο², Єr./L=αο. Po przekształceniu: (1)d²q/dt²+2γdq/dt+ωο²q=αο cosωt. Rozwiązanie w postaci: x=r sin(ωt-φο), r=P/√(ωο²-ω²)²+4β²ω². Wracając do wzoru (1): q=qο sin(ωt-φο), L/R- jest to czas relaksacji. Maksymalny ładunek na kondensatorze wymuszającym zależy od częstości wymuszającej: qο=αο/√[(ωο²-ω²)²+(ω/)²]. Wiedząc, że: αο=Єr./L, =L/R, ωο²=1/LC, po przekształceniach: qο=Єr./ω√[R²+(ωL-1/ωC)². Jeżeli R=0 to qο=q max., ωοL-1/ωοC=0ωο²=1/LC. Rezonans obwodu następuje gdy ωο=ω, (częstość przyłożonej siły SEM jest równy naturalnej (nie tłumionej) częstości układu. prąd ma maksymalną amplitudę. tgο²-ω²)=-2γω/(1/LC)-ω²=R/ωL-(1/ωC), Jest to przesunięcie fazowe między ładunkiem a silą wymuszającą. i=dq/dt=qο ω cos(ωt-γο), gdzie: qο ω=iο. iο=qοω=Єr./√[R²+(ωL-1/ωC)²]. Zawada: z=√[R²+(ωL-1/ωC)²], gdzie R- opór omowy. L-1/ωC,(rysunek)
opór pozorny. tgR, φο-przesunięcie fazowe. Jeżeli z=R, iο(rezonansowe)=iο max. , i max=Єr./R, (ωrL-1/ωrC)=0, ωrL=1/ωrC, ωr=√1/LC=ωο. tgφrez=0φrez=0. P¯=½Єr.*iο cosφο, gdzie P¯- średnia moc obwodu RLC. P¯=½Єr.iο, rezonans= max. Moc w obwodzie.
