CAŁKA OZNACZONA = liczba, CAŁKA NIEOZNACZONA = funkcja
ŚREDNICA PRZEWDZIAŁU Pn: (Pn) = max {k=1..n} {Xk-Xk-1=Xk}
(Pn)n=1 jest normalny (Pn)0 podział na równe części to podział normalny, podział na nierówne – nie jest normalny
DEFINICJA WARUNKOWA CAŁKI: jeśli dla każdego ciągu normalnego podziału (przedziału) i niezależnie od wyboru ciągów punktów pośrednich Xk ! granica ciągu Sn (sum całkowych) to tę granicę nazywamy całką oznaczoną na przedziale i oznaczamy ab f(x)dx
G fdm(n)=lim{n0,b->} k=1n f(Xk) |Gk|
G 1dm(n)=lim{n0}k=1n1|Gk|=|G|
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ: Gdy f(x)>=0 x wartość całki ab f(x)dx jest polem trapezu krzywoliniowego czyli polem figury zawartej między osią X a wykresem funkcji i płaszczyznami x=a i x=b
WARUNEK DOSTATECZNY CAŁKOWALNOŚCI: fC()
WARUNEK KONIECZNY: f jest ograniczona na
TW. NEWTONA LEIBNITZA: abf(x)dx=F(b)-F(a)
TW O WARTOŚCI ŚREDNIEJ: x(a,b): f(x)=(abf(x)dx)/(b-a)
x(a,b):abf(x)dx=f(x)(b-a)
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE: Z: g:g(a)=, g(b)=, gC1() i fC(),
T: abf(g(x))*g’(x)dx=g(x)=t, g’(x)dx=dt, x|a|b/t||=f(t)dt
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI: (f,gC1()
T: abf ’(x)*g(x)dx=[f(x)*g(x)]ba-abf(x)g’(x)dx
ADDYTYWNOŚĆ WZGLĘDEM PRZEDZIAŁU CAŁKOWANIA: abf+bcf=acf
abf= –baf
x f(x)>==<0
f(x)<=g(x)abf(x)dx<=abg(x)dx
TW WEISTRASSA: m,MR x m<=f(x)<=M
T: m(b-a)<=abf(x)dx<=M(b-a)
-aaf. parzystej=20af, -aaf. nieparzystej=0
0f(x)dx=lim{}af(x)dx=lim{}(f()-f(a))=F()-F(a) F()R()c. zbieżna, F(a)R(nie)c. rozbieżna
-f(x)dx=-cf(x)dx+cf(x)dx=F()-F(-) c. zbieżna gdy obie są zbieżne
@bf(x)dx=lim{a+}bf(x)dx=lim{a+}(F(b)-F())=F(b)-F(a+)
af(x)dx=lim{b-}af(x)dx=F(b-)-F(a)
@f(x)dx=@cf(x)dx+cf(x)dx=F(b-)-F(a+)
abf(x)dx=af(x)dx+bf(x)dx
DŁUGOŚĆ ŁUKU: |lAB|=(x’(t)2+y’(t)2)dt
|P|=y(t)x’(t)dt
CAŁKI WIELOKROTNE:
przedział jest NIEZDEGENEROWANYkIn={1..n} ak<bk
ZDEGENEROWANYak<=bk i i: ai=bi
OBJĘTOŚĆ PRZEDZIAŁU n- WYMIAROWEGO: vol P(n)=(b1-a1)(b2-a2)..(bn-an) dla zdegenerowanego vol P(n)=0, vol=0
TWORZYMY figurę utworzoną ze skończonej liczby przedziałów n- wymiarowych o wnętrzach parami rozłącznych. Objętość tej figury to suma objętości figur przedziałów. Figura jest WPISANA w G zawiera się w tym zbiorze (OPISANA gdy zawiera zbiór G). Każda figura ma miarę wewnętrzną i zewnętrzną: zewnętrzna – kres dolny objętości wszystkich możliwych figur opisanych, wewnętrzna – kres górny wpisanych.
MIARA JORDANA: (zbiór ograniczony i niepusty) jeśli miara zewnętrzna = wewnętrznej ta wartość to miara Jordana |G| lub m(G) zbiór jest MIERZALNY
ZBIÓR NIEMIERZALNY w sensie Jordana zewnętrzna> wewnętrznej
jeśli G jest mierzalny to intG też i |G|=|intG| i |G|=0 (|G| – miara brzegu)
DEFINICJA n- WYMIAROWEJ: G- zbiór ograniczony, domknięty, mierzalny, f –ograniczona na G: Jeśli granica IR (skończona) dla wszystkich normalnych ciągów sum całkowych i przy dowolnym wyborze ciągów punktów pośrednich w elementach podziału to ta granica to G fdm(n)
|Gf|<=G|f|
Jeśli f jest ograniczona i ciągła (prawie wszędzie) na G to f jest CAŁKOWALNA na G
Jeśli obszar jest normalny w kierunku x i y to wynik całkowania nie zależy od przyjęcia wypukłości a do obliczania stosujemy dowolną iterację.
Uogólnieniem całkowania po obszarze normalnym jest całka po obszarze regularnym który jest sumą obszarów wypukłych w kierunku jakiejś osi o wnętrzach parami rozłącznych.
ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA BIEGUNOWE: x=r*cos, y=r*sin, J=|dx/dr,dx/ddy/dr,dy/d| Df(x,y)dxdy=f(r*cos,r*sin)r*ddr (D- obszar regularny i domknięty)
ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA SFERYCZNE: - kąt poziomy, - kąt od cienia do promienia: x=r*coscos, y=r*sincos, z=r*sin, J=r2*cos
MASA: mD=gmdm, MOMENT STATYCZNY: MF=Dd(x,F)dm, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: BF=Dd(x,F)dm, PARCIE CIECZY F=Dd((x,y),l)dxdy, PRACA NA WYPOMPOWANIE CIECZY: L=Dd((x,y,z),H), ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: (Xs,Ys,Zs):
Xs=(Dgxdm)/(Dgdm)
DEF ŁUKU REGULARNEGO: łuk regularny o początkach A i B K=AB to HONOGRAF (obraz) funkcji wektorowej r: tr(t)=[x(t),y(t),z(t)]R3(2) dla z(t)=0łuk płaski
F wektorowa r określa jednoznacznie uporządkowanie punktów (orientację) na honografie
KRZYWA jest ZAMNIĘTA jeśli r()=r() i r jest różnowartościowa w przedziałach
KRZYWA KAWAŁKAMI REGULARNA: skończona suma łuków regularnych (łamana): koniec jednego = początek drugiego
DEF CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ: Jeśli ! rzeczywista liczba taka, że jest granicą dowolnego ciągu sum całkowych Sn I=lim {n, n0} Sn przy normalnym ciągu podziału łuku i niezależnie od wyboru punktów pośrednich Ak to nazywamy ją wartością całki krzywoliniowej
K=AB Wodl INTERPRETACJA: praca potrzebna na przeniesienie jednostkowej masy wzdłuż łuku K przy działaniu siły W. Gdy K jest zamknięta to ta to cyrkulacja pola W wzdłuż krzywej K
K=ABf(x,y,z)dl=f|K=AB |r’(t)|dt=f|K=AB(x’(t)2+y’(t)2+z’(t)2)dt
K=ABWodl=W|Kor(t)dt=[p(x(t),y(t),z(t))*x’(t) +Q( )*y’(t)+R( )z’(t)]dt
DŁUGOŚĆ ŁUKU: lK=Kdl, MASA ŁUKU: ml=Kgndl, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: BF=Kgnd2(x,F)dl, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: Xs=(Kgnxdl)/( gndl)
TW GREENA: D- normalny względem osi X i Y (wypukły względem obu osi) D- krzywa zamknięta – kawałkami regularna (x,y)DW(x,y)=[P(x,y),Q(x,y)]C1(D), ^Wodl=D[Q’x(x,y)-P’y(x,y)]dxdy
ZAGADNIENIE CAUSHIEGO (gwarantowane przez ciągłość): znalezienie rozwiązania spełniającego: y(x0)=y0, y’(x0)=y1, y’’(x0)=y2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH: y’=p(x)*g(y), dy/(y)=dx/(x)
RÓWNANIE JEDNORODNE: y’=p(y/x)y/x=u(x)
OPERATOR RÓŻNICZKOWANIA CAŁKOWEGO: Ln=dn/dxn+P(n-1)*dn-1/dxn-1+…+p1*d/dx+p0(x)
TWIERDZENIE o STRUKTURZE (o RORJ): y1..ynCn-1(Xp): wszystkie są rozwiązaniem RJ, WROŃSKIAN: W(x)=det[y1(x),y2(x)..yn(x)y’1(x), y’2(x)..y’n(x)…yn-11(x)..yn-1n(x)]nxn0, y1..yn są LN w C(Xp)
C1..CnR, C1y1+C2y2+..+Cnyn=0C1=C2=..=Cn=0
RL1: y’+p0(x)*y=g(x) y=C1y0(x)+ys(x) y=C1y1(x)+y1(x)*[f(x)/y1(x)]dx, y1(x)=exp[-p1(x)dx]
r2 + pr + q = 0:
>0: y1=exp(r1x), y2=exp(r2x) W(x)0, y0=C1*exp(r1x)+C2*exp(r2x)
=0: y1=exp(r0x), y2=x*exp(r0x)W(x)>0
<0: r1=(-p-i(-))/2, r2=(-p+i(-))/2=i, =p/2, =(-)/2, y1=exp(x)*cosx, y2=exp(x)*sinx
f(x)= ex[Wl1(1)(x)cosx+Wl2(2)(x)sinx]
brak kolizji (+i nie jest równania charakterystycznego),
ys= ex[(Amxm+ A1x+A0)cosx+(Bnxn+..B0)sinx],
jeśli +i jest k- krotnym ys=xk
ZAGADNIENIE CAUSHIEGO DLA UKŁADÓW RÓWNAŃ: WP: x1(t)=x1, x2(t)=x2, t(t0, tk)
xdx=1/(+1)*x-1+C
In=cosnxdx=1/2*3/4*5/6*…*(n-1)/n* /2 dla n parzystego lub 2/3*4/5*6/7*(n-1)/n dla n nieparzystego
Wn(x)/(ax2+bx+c)dx=Wn-1(x)(…)+Pdx/(..)
