Dynamika

Zasada niezależności ruchów. Jeżeli jakiś ruch bierze udział w kilku ruchach, to wypadkowe przemieszczenie punktu jest równe sumie wektorowej przemieszczeń wykonanych przez ten punkt w tym samym czasie w każdym z tych ruchów oddzielnie.
Prędkość. jest to wielkość fizyczna którą określamy stosunek przemieszczenia do czasu w jakim uległo to przemieszczenie. Vśr=r/t V=limtor/t=dr/dt=d/dt * (r). Prędkością chwilową nazywamy wielkość fizyczną, którą mierzymy pochodną wektora położenia po czasie. Prędkość chwilowa zawsze jest styczna do toru w pkt. w którym ta prędkość określamy.
W praktyce spotykamy najczęściej ruchy, których prędkość ulega zmianie i to w wyniku zmiany jej wartości jak i kierunku jej zwrotu. W celu scharakteryzowania tej zmiany wprowadzono pojęcia przyśpieszenia. Używa się pojęcia przyśpieszenia średniego jak i chwilowego. aśr=V/t a=limtoV/t=dV/dt . Przyśpieszenie chwilowe jest wielkością fizyczną, którą obliczamy jako pochodną wektora prędkości po czasie.
V=VN+VS zmiana kierunku +zmiana wartości. Vn określa zmianę wektora prędkości związaną ze zmiana jego położeni przy przejściu z pkt. A do B. Vs charakteryzuje zmianę wektora prędkości związaną ze zmiana jego wartości liczbowej w czasie t w którym pkt. zmienił położenie z A na B.
aśr=V/t=Vn/t+Vs/t a=limtoV/t= limtoVn / t+ limtoVs/t , a=an+as , anV – przyśpieszenie prostopadłe do trajektorii, as||V – przyśpieszenie styczne.
an nazywamy się przyśpieszeniem normalnym albo dośrodkowym, gdyż skierowane jest do środka okręgu, którego elementem jest element trajektorii będącego najbliższym otoczeniem pkt. A.
as nazywama się przyśpieszeniem stycznym, ponieważ jego kierunek jest styczny do pkt. w którym określamy to przyśpieszenie. a=pierw.(an2+as2). an=V2/r
Wersory |l|=|u|=1 as=dv/dt*l an=V2/r*u. Z przeprowadzonych do tej pory rozważań wynika że przyśpieszenie normalne związane jest z szybkością zmiany kierunku wektora prędkości punktu materialnego a przyśpieszenie styczne z szybkością zmiany wartości prędkości tego pkt. materialnego.
Kinematyka ciała doskonale sztywnego. Ciało fizyczne posiada wagę i kształt, które mogą ulec zmianie. W przypadku kiedy zmiany tych parametrów ciała są tak małe, że nie wpływają na zachowanie ciała, możemy potraktować jak ciało doskonale sprężyste. W zależności od tego jak poruszają się pkt. ciała doskonale sztywnego dzieli się jego ruchy na postępowe, obrotowe i złożone:
a)postępowym – nazywa się ruch w którym dowolna prosta ściśle związana z ciałem przemieszcza się pozostając równoległa sama do siebie
b)obrotowym – nazywamy taki ruch bryły sztywnej w którym wszystkie pkt. tej bryły zakreślają okręgi o środkach leżących na jednej prostej która nazywa się osią obrotu. Punkty materialne obracającej się bryły sztywnej zakreślają różne łuki w tym samym czasie. Długość zakreślanego łuku zależy od odległości pkt. od osi obrotu.
W celu opisania ruchu obrotowego ciała wprowadza się oprócz już poznanych wielkości liniowych, wielkości kątowe:  -droga kątowe,  – prędkość kątowa,  – przyśpieszenie kątowe.
Drogą kątową nazywamy kąt zakreślony przez promień wodzący pkt. materialnego w określonym czasie.
Prędkość kątową nazywamy stosunek drogi kątowej  do czasu t w którym ta droga kątowa została przebyta, jest miarą wartości średniej prędkości kątowej. śr=/t. Chwilową prędkość kątową ruchu obrotowego nazywamy wektor w którego wartość równa się pierwszej pochodnej drogi kątowej po czasie =d/dt. Wektor jj jest prostopadły i zwrot zgodny z reg. prawej śruby. Tak więc  określa położenie osi obrotu, kierunek i szybkość.
Przyśpieszenie kątowe . Przyśpieszenie średnie to wielkość fiz. którą obliczamy ze stosunku wektora prędkości chwilowej do czasu w którym ta zmiana nastąpiła. śr=/t. Przyśpieszenie kątowe(chwilowe) to wielkość fizyczna, którą określamy jako pochodną wektora prędkości kątowej po czasie =d/dt.
Zależności między wielkościami linowymi i kątowymi d=ds/R; ds.=R*d /:dt ; ds./dt=R*d/dt ; V=R* ; V=xR ; xr=xR , V=xr oznacza, że zależność ta jest słuszna dla promienia wodzącego poprowadzonego z dowolnego pkt. na osi obrotu do pkt, badanego. V=R ; dV/dt=R*d/dt ; as=R ; as=xR ; as=xr . Przyśpieszenie dośrodkowe ak=V2/R ; V=R ; ak=2R . Częstotliwość obrotu – ilość obrotów na sekundę f=/t=1/T =2/T=2f.

Zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego.
S=S0+0tVdt ; V=V(t) ; as=dV/dt ; dV=asdt ; V=V0+0tasdt .
Ruch jednostajnie prostoliniowy a=0
*ruch zmienny (def) |V|const. as0 bo as=d|V|/dt , jeśli as>0 ruch przyśpieszony V, jeśli as<0 ruch opóźniony V
-ruch dowolnie zmienny as0const.
-ruch jednostajnie zmienny as0=const. V=V0+totasdt=V0+otasdt=V0+ast ; S=S0+totVdt= S0+ot(V0+ast)dt= S0+otV0dt+ otastdt ; S= S0+V0t+ast2/2
Ruch obrotowy
V=d/dt d=*dt – prędkośc kątowa elementarna
analogicznie do ruchu prostoliniowego =0+otdt jest wyrażeniem na drogę kątową, a =0+otdt na prędkość kątową.
Czyli dla ruchu jednostajnie obrotowego =0+t przy V=const. =0, i dla ruchu jednostajnie zmiennego =const. =0+0t+t2/2 oraz =0+t
Dla innych ruchów musimy mieć zależność przyśpieszenia (stycznego czy kątowego) od czasy a to można wywnioskować z dynamiki ruchu.

Dynamika to dział fizyki zajmujący się wpływem oddziaływania między ciałami na ich ruch.
Badania wykazały że istnieją układy odniesienia względem których ciało odosobnione może poruszać się tylko ruchem jednostajnie przyśpieszonym lub pozostawać w spoczynku, aby zmienić stan ruchy ciała musi wystąpić oddziaływanie miedzy tym ciałem a innym ciałem. Wynika stąd, że ciało posiada właściwość, która polega na dążeniu do zachowania stanu swojego ruchu. Tę właściwość Galileusz nazwał bezwładnością ciała, a układy odniesienia w których to się obserwuje nazywamy układami inercjalnymi.
Precyzyjne pomiary wykazują, że nie istnieje dokładnie inercjalny układ. Obecnie najbardziej inercjalnym jest układ z gwiazdami. Nieznany jest dokładnie ścisły dowód na to, ż taki układ istnieje.
I Zasada dynamiki: I zasada dyn. jest postulatem istnienie układu inercjalnego, wynika z faktu istnienia bezwładności ciała i nazywa się zasadą bezwładności: „Istnieje układ odniesienia względem którego każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym dopóki działanie innych ciał nie zmusi go do zmiany jego stanu”.
W przyrodzie wyróżniamy 3 podst. oddziaływania: grawitacyjne, elektryczne, jądrowe, słabe.
Miarą oddziaływania jest siła. Siłą nazywamy wielkość wektorową, która jest miarą oddziaływania mechanicznego innych ciał na dane ciało.
Siły wywołują skutki: statyczne(zmiany kształtu, rozmiaru), dynamiczne(zmiana ruchu)
Jeżeli na ciało lub pkt. materialny działa jednocześnie kilka sił to skutki jakie one wywołują są takie jak gdyby działała na nie tylko 1 siła równa sumie wektorowej poszczególnych sił.
Gdy na ciało nie działają żadne siły lub gdy wypadkowa wszystkich sił działających na nie jest równa 0 to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym wzg. ukł. inercjalnego.
II Zasada dynamiki: Ciało na które działa siła niezrównoważona, porusza się względem inercjalnego ukł. odniesienia z przyśpieszeniem proporcjonalnym do wartości siły skierowanej i zwróconej zgodnie z kierunkiem siły działającej. a~F ; a=F/m –siła niezrównoważona, wypadkowa wszystkich sił.
Z II zasady dynamiki wynika, że im większa masa tym większa bezwładność ciała.
Rozróżnia się masę grawitacyjną i bezwładnościową, dotychczas nie wykazano różnicy. F=m*a (n=kg*m/s2)
Ostatnia zależność nie jest uniwersalna, jest tym dokładniejsza im mniejsza jest prędkość ciała od prędkości światła.
Uogólniona II postać zasady dynamiki: pęd ciała –p=mV ,wielkość fiz. która mierzymy iloczynem masy ciała i jego prędkości. Popęd (impuls siły) wielkość wektorowa określona przez całkę z iloczynu siły i czasu, którą wyznaczamy w granicach określonych przez czas działania tej siły: =totFdt , =Ftotdt=F(t-t0)Ft
II zasada dynamiki w postaci uogólnionej: =p –zmiana pędu ciała jest równa popędowi.
Postać elementarna d=dp , Fdt=dp . F=dp/dt z czego wynika że siłę można znaleźć licząc pochodną pędu po czasie.
II zasada dynamiki jest podstawowym prawem ruchu postępowego i nazywa się dynamicznym rów. ruchu.
III Zasada dynamiki. Ustalono doświadczalnie, że działanie 1 ciała na 2 jest zawsze wzajemne. Działania na siebie 2 ciał są zawsze równe i przeciwne zwrócone. F12=-F21 . Z III zasady dynamiki wynika że podczas oddziaływania wzajemnego 2 ciał zmiany ich pędów są równe liczbowo lecz przeciwnie skierowane F=d/dt(mV) , F12=-F21 , d/dt(m1V1)=-d/dt(m2V2) , d(m1V1)=-d(m2V2)

Zasady dynamiki dla bryły sztywnej(b.sz). Możemy podzielić b.sz. na niezależne ciała pkt. materialnych. Rozpatrujemy b.sz. jako zbiór pkt. materialnych, których suma mas tworzy masę bryły m=i=1nmi . Zakładamy, że odległość poszczególnych pkt. jest stała i nie ulega zmianie. Rozpatrujemy ruch ciała sz. zamocowanego wzg. dowolnego inercjalnego układu odniesienia dpi/dt=Fmi , Fmi=Fi+k=1nFik , dpi=d(miVi) , d/dt(miVi)= k=1nFik+Fi , następnie mnożymy to wektorowo przez wektor określający położenie punktu mi , rixd/dt(miVi)= rixk=1nFik+rixFi i otrzymujemy d/dt(ri x miVi)= rixk=1nFik+rixFi . Iloczyn wektorowy ri pkt. materialnego przez pęd miVi nazywamy momentem pędu mi albo krętem i-tego pkt. materialnego wzg.0 : Li=rixpi=rixmiVi . Iloczyn wektorowy promienia wodzącego poprowadzonego do pkt. przyłożenia siły przez tę siłę nazywamy momentem siły Mi wzg. siły Fi. Mi=rxFi , dLi/dt=rixFik+Mi – szybkość zmiany pędu. Li=L, Mi=M.
Sumę wektorową Mi wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do ciała nazywamy momentem wypadkowym wszystkich sił zewnętrznych.
Sumę wektorową L wszystkich pkt. mat. ciała nazywamy momentem pędu (momentem ilości ruchu) L ciała względem ciała.dL/dt=M. Szybkość zmiany momentu pędu obracającego się dookoła pkt. nieruchomego równa się wypadkowemu momentowi wzg. tego pkt. wszystkich sił zewn. przyłożonych do niego. Twierdzenie to jest podstawową zasadą dynamiki ciała zamocowanego wzg. jednego pkt.
(rys. ciało obracające się wokół osi z.)
Rozpatrujemy przypadek gdy ciało jest zamocowane na sztywnej osi, tzn. np. do 2 nieruchomych pkt. i mogące się obracać do okoła tej osi, która pokrywa się z osią Z. W tym przypadku składowe momentu M skierowane wzdłuż osi OX i OY są zrównoważone przez odpowiadające im siły reakcji w pkt. 0. Dlatego obrót ciała dookoła osi Z odbywa się pod działaniem siły Mz, dLz/dt=Mz. Szybkość zmiany momentu ciała wzg. nieruchomej osi równa się wypadkowemu momentowi wzg. tej osi wszystkich sił zewnętrznych działających na to ciało. Li=rixmiVi , Li=|r|*|miVi|sin , Liz=miViri , Vi=ri , Liz=miri2 , Lz=miri2 , miri2=Jz , Lz=Jz.
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Mi=dLz/dt , Mi=d/dt(Jz) , Mz=Jzd/dt , Mz=Jz , =Mz/Jz (moment siły/moment bezwładności) , J=limm0Ri2mi , J=Ri2dmi , dm=*dV.
Z wyrażenia =Mz/Jz wynika II zasada. Jeżeli na bryłę obracającą się wokół osi OZ inercjalnego kartezjańskiego ukł. współ. działa niezrównoważony moment Mz wtedy nadaje on bryle przyśpieszenie kątowe , którego wartość jest proporcjonalna do wartości tej siły, zwrot i kierunek są identyczne wzg. Mz oraz odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności wzg. osi OZ.
I zasada dla ruchu obrotowego. W inercjalnym ukł. odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym, gdy nie działają żadne momenty sił lub gdy się równoważą.
Zasada zachowania pędu i momentu pędu pkt. materialnego.
Zasada zachowania pędu dla pkt.mater. Jeżeli na pkt. materialny nie działa żadna siła lub siły wyp. równa się 0 to pęd tego punktu nie zmienia się w czasie. F=dp/dt , F=0 , d/p/t=0 , dp=const.
Z 2 i 3 zasady dynamiki wynika zasada zachowania pędu układu zamkniętego zbioru pkt. materialnych. Układ ciał nazywamy zamkniętym jeśli dla każdego ciała (pkt.mate.) tego układu wszystkie siły działające na niego równe są 0 tzn. działają siły tylko wew.
Wektor pędu zamkniętego układu pkt. (ciał) nie zmienia się w czasie. Moment pędu odosobnionego pkt. mat. wzg. innego pkt. mat. nie zmienia się.
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych wzg. nieruchomego pkt. ciała tożsamościowo równa się 0 to moment pędu ciała wzg. tego pkt. nie zmienia się z upływem czasu.
Moment pędu zamkniętego ukl. ciał wzg. inercjalnego pkt. materialnego nie zmienia się dLz/dt=Mz=0 , Lz=const. Jz=const.
Jeśli wypadkowy moment wszystkich sił zew, działających na układ wzg. dowolnej nieruchomej osi to moment pędu ukł wzg. tej osi nie ulega zmianie.
Ruch precesyjny. W technice masywne symetryczne bryły obracające się z dużą pręd. kątową nazywają się bąkami lub żyroskopami. Mają wiele właściwości m.in. dążą do zachowania kierunku obrotu. W tej sytuacji moment sił jest zwrócony za ?????.