Rachunek procentów.
1%=1/100
p procent liczby a
p% a 1/100 =b
p%= b/a100=b/(a/100)
Przykłady.
1-Z pensji w wysokości 700zł potrącono 30%. Ile zł potrącono?
b= 700*0,3 =210 zł
2-W pewnym przedsiębiorstwie pensja pracownika wzrosła o 180 zł co stanowiło 30 % poprzedniej płacy. Ile wynosiła poprzednia płaca?
a= b*100/p =(180*100)/30 =600
3-Roczny plan obrotów pewnego przedsiębiorstwa wynosi 10 tyś. W pierwszym kwartale osiągnięto obrót o wysokości 4 mln. zł. W ile % wykonano plan w pierwszym kwartale?
p= (4/10)*100 =40%
Rachunek procentowy „od sta” i „od stu”.
1-W pewnej hurtowni dokonano zakupu towarów na kwotę 20 tyś. Kwota ta zawiera marżę 10%. Ustalić kwotową marżę oraz kwotę, od której naliczono marżę.
20000/(100% +10%) *10 =1818,18 (kwota marżowa)
20000/(100%+10%) *100 =18181,82
2-Po 30% podwyżce cen TV kosztuje 1200 zł. Ustalić poprzednią cenę TV i
kwotę podwyżki.
1200/(100+30) *100=923,08
1200/(100+30)*30=276,92
3-Wydawnictwo przyznało księgarni rabat w wysokości 15%. Jaka jest cena katalogowa książki i kwotowa wartość rabatu jeśli za książkę zapłacono 9 zł?
9zł/(100-15)*15=1,59
9/(100-15)*100=10,59
4-Koszt własny wyrobu akcyzowego wynosi 20 zł, a zysk producenta wkalkulowany w cenę sprzedaży stanowi 10% kosztu własnego. Stopa procentowa podatku akcyzowego wynosi 40%. Oblicz kwotę podatku akcyzowego.
20*10%=2
(20+2)/(100-40) *100=36,67
(36,67/100)*40=14,67
skonto- ustępstwo udzielone temu odbiorcy, który reguluje bezzwłocznie należność mimo, że ma prawo z odroczeniem płatności
Sposoby doliczania odsetek.
oprocentowanie proste
Fo- fundusz 0, p- na p%, Fn- fundusz po n latach
!!Fn= Fo(1+np)=Fo+nFop!!
Zadania.
1-5000 leżało sobie przez 3 lata w banku, a oprocentowanie było proste i wynosiło 4%. Ile było po 3 latach?
F3=Fo(1+np)=5000(1+3*4%)=5600
2-Po dwóch latach pewna kwota położona w banku wynosiła 784000. p=6%. Ile wynosiła kwota początkowa?
Fo=Fn/(1+np)=F2/(1+2*6)=784000/1,12=700000
3-Kwota 2000 zł w banku była oprocentowana na 5% i po pewnym czasie wypłacono odsetki w wysokości 500 zł. Obliczyć ten czas.
Fo=2000, p=5%, Fn-Fo=500 zł
n=(Fn-Fo)/Fop=500/(2000*0,05)=5
4-Fo=10000, p=?, F5=20000
p=(Fn-Fo)/nFo=10000/(5*10000)=20%
oprocentowanie składane
!!Fn= Fo(1+p)n !! q=1+p
Zadania.
1-Mamy 10000, które położono na 5%. Ile ten fundusz będzie wynosił po 10 latach?
F10=10000(1+0,05)10=10000(1,05)10= 16288,9 (1,05)10=1,62889
2-Fo=Fn/qn =Fn*(1/qn)=Fn*rn r=1/q(czynnik dyskontujący)
Po 5 latach mieliśmy 1000 zł, stopa proc.=5%. Ile wynosił fundusz zerowy?
F5=1000, p=5%
Fo=1000/(1,05)5=782 (1,05)5=1,27682
oprocentowanie składane z góry
!!Fn=Fo(1-p)-n !!
Zadania.
1-Bank a dokonuje kapitalizacji z dołu na stopie proc. 20%. Bank b dokonuje kapitalizacji z góry i stopa proc.= 18%. Do którego banku złożyć pieniądze?
Fnd=Fo(1+p)n
Fng=Fo(1-p)-n
Fnd/Fng=(1,2)n/(0,82)-n =(1,2)n*(0,82)n=(1,2*0,82)n =(0,984)n<1 to zajdzie zawsze Odp. Mianownik jest większy od licznika więc kapitał z góry jest większy.
!!Oprocentowanie z góry jest równe oprocentowaniu z dołu gdy zachodzi równanie: 1+p_=1/(1-p^)!!
2-Bank dokonuje rocznej kapitalizacji z dołu na 20%, chce jednak przejść na oprocentowanie z góry. Jakie ma zachować oprocentowanie aby atrakcyjność banku pozostała?
1-p^=1/(1+p_)
p^= -1/(1+p_)+1=(1+p_-1)/(1+p_) =p_/(1+p_)
p^=0,2/(1+0,2)=20/120=0,16
Odp. 16%^=20%_
OKRES STOPY PROC.=OKRES KAPITALIZACJI=>kapitalizacja zgodna
m=1 k. roczna; m=2 k. półroczna; m=4
k. kwartalna; m=12 k. miesięczna
k- ilość okresów, które minęły
=>k. prosta Fk=Fo(1+k*p/m)
=>skł. z dołu Fk=Fo(1+p/m)k
=>skł. z góry Fk=Fo(1-P/m)-k
3-Mamy 100 zł na stopie proc. 24%. Ile jest po 10 latach?
=>oprocentowanie proste
*kapitalizacja roczna
F10=100(1+10* 0,24/10)=124 zł
*kapitalizacja półroczna
F20=100(1+ 20*0,24/20)= 124 zł
*kapitalizacja kwartalna
F40=100(1+40* 0,24/40)=124 zł
*kapitalizacja miesięczna
F120=100(1+120* 0,24/120)=124 zł
=>oprocentowanie skł. z dołu
*kapitalizacja roczna m=1
F10=100(1+ 0,24/1)10=859,4
*k. półroczna m=2
F20=100(1+ 0,24/2)20=964,6
*k. kwartalna m=4
F40=100(1+ 0,24/4)40=1028,5
*k. miesięczna m=12
F120=100(1+ 0,24/12)120=1076,5
OSZCZĘDZANIE
Kn- kapitał po n latach; Z- suma wszystkich odsetek
E- wysokość wpłat
!!Kn_=nE[1+p* (n-1)/2] =>kapitał po n latach z dołu!!
!!Kn^=nE[1+p*(n+1)/2] =>kapitał po n latach z góry!!
E=Kn/ n[1+p(n+-1)/2] p/m-stopa proc.
Zadania.
1-Jaka jest przyszła oraz teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych na koniec 8 kolejnych kolejnych miesięcy miesięcy wysokości 200 zł. każda? Kapitalizacja prosta, miesięczna, p=2%.
K8=? E=200 zł oproc. z dołu
K8=8*200zł[1+0,02*(8-1 /2)]=1712zł
K8=Ko(1+8p)
Ko=K8/(1+8p)=1712/(1+0,16)=1475zł
2-Jakie jednakowej wysokości wpłaty miesięczne z góry pozwolą na zgromadzenie w ciągu pół roku kwoty 6000zł? Bank stosuje kapitalizację prostą, miesięczną, p=18%(nominalna stopa).
E=?
E=6000zł/ 6*[1+18/12*(6+1)/2] =950,11876zł
3-Przez ile miesięcy należy wpłacać kwotę z góry aby nazbierać 1000zł. Bank stosuje kapitalizację prostą, miesięczną, p=12%. E=100 p/m=12/12=1%
1000=n100[1+0,01*(n+1)/2]
1000=100n+ n(n+1)/2
1000=100n+1/2n2+1/2n
1/2n2+100,5n-1000=0 /*2
n2+201n-2000=0
n1~-210,5 =>zbiór pusty
n2~9,5 miesiąca
Obliczamy teraz kapitał po 9 miesiącach.
K9=9*100[1+0,01(9+1)/2]=945zł
(945+x)(1+0,01*9(1+1 )/2)=1000zł
954,45+1,01x=1000
1,01x=45,55 =>x=45,099
odp. Należy dokonać 9 wpłat po 945zł i 1 po 45,099zł.
oszczędzanie; oproc. składane
!!Kn^=qKn_ Kn_=E(qn-1)/(q-1)!!!
Zadania.
1-Cena samochodu wynosi 35000zł. Jakiej równej wysokości wkłady oszczędnościowe wnoszone na koniec kolejnych miesięcy pozwolą zgromadzić w ciągu 2 lat potrzebny fundusz na zakupienie samochodu? Bank stosuje miesięczną kapitalizację złożoną z dołu przy miesięcznej stopie proc.=2%.
Kn=35000 n=24 p=2% q=1+2%=1,02
E=?
E=35000*{0,02/[(1,02)24-1]}=1150,49
2-Do banku wpłacono 18000zł. Po upływie 5 lat zaczęto dodatkowo wpłacać na początku każdego roku 3000. Jaki powstanie w ten sposób kapitał po 10 latach? Stopa proc. 20%.
E=3000 po 5 latach p=20%
K10=18000(1,2)10=111451,26
K5^=3000(1,2)* [(1,2)5-1]/0,2=26789,76
111451,26+26789,76=139241,02
3-Na fundusz emerytalny wpłacano na koniec każdego miesiąca 100zł. Roczna stopa proc. wynosi 12%. Wkładów dokonujmy przez 10 lat, a przez następne 5 lat kapitał podlegał oprocentowaniu jako lokata. Ustalić ile po 10 latach będzie wartość przyszła.
E=100 p=12% n=10 lat 5 lat lokata
Kn =E{m+[(m+-1)/2]*p}*(qn-1)/(q-1)
K10=100{12+[(12-1)/2]*0,12}* (1,1210-1)/0,12=22216,6989
F=K10*(1,12)5=39153,414zł
Spłata długów i kredytów.
An- n-ta rata łączna
Tn- n-ta rata długów
Zn- odsetki spłacone w n-tej racie
Sn- reszta długów pozostała do spłacenia po spłaceniu n rat
!!An=Tn+Zn!!
(A1,… T1,… Z1,… S1,…) PLAN SPŁATY
!!Sn=Sqn-(A1qn-1+A2qn-2+A3qn-3+…+An)
Warunek spłaty po n latach =0 Nn=0
SqN-(A1qN-1-A2qN-2-…-AN)=0
Zadania.
1-Zadane wszystkie spłaty. Ktoś ma dług 100 mln zł.
S=100 A1=40 A2=37 A3=24 A4=22
100q4-40q3-37q2-24q1-22=0
q~1,1 p=0,1=10%
S1,S2,… Zn=Sn-1*p=>Z1,Z2,… Tn=An-Zn=>T1,T2,…
2-Zadane są wszystkie spłaty za wyjątkiem jednej. Obliczyć brakującą spłatę.
Ak =(SqN-A1qN-1-…-AN)/qN-k
S=100 A1=50 A2=? A3=48 p=20% q=1+20%=1,2
A2=[100(1,2)3-50(1,2)2-48(1,2)]/1,2=44
